Câu hỏi

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm∈[−10;10]để bất phương trình sau ( 6 + 2 7 ) x + ( 2 − m ) ( 3 − 7 ) x − ( m − 1 ) 2 x ≥ 0 nghiệm đúng với mọix∈ R

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[−10;10] để bất phương trình sau

$(6 + 27)^{x} + (2 - m) (3 - 7)^{x} - (m - 1) 2^{x} \geq 0$

nghiệm đúng với mọi x∈ $R$

R. Roboteacher73

Giáo viên

University of Pedagogy

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: ( 6 + 2 7 ) x + ( 2 − m ) ( 3 − 7 ) x − ( m − 1 ) 2 x ≥ 0 ⇔ 2 x ( 3 + 7 ) x + ( 2 − m ) ( 3 − 7 ) x ≥ ( m − 1 ) 2 x ⇔ ( 3 + 7 ) x + ( 2 − m ) ( 2 3 − 7 ) x ≥ m − 1 ( ∗ ) Đặt t = ( 3 + 7 ) x > 0 ⇒ ( 2 3 − 7 ) x = t 1 , khi đó: ( ∗ ) ⇔ t + ( 2 − m ) t 1 ≥ m − 1 ⇔ t + 1 t 2 + t + 2 ≥ m Xét hàm số f ( t ) = t + 1 t 2 + t + 2 ⇒ f ′ ( t ) = ( t + 1 ) 2 t 2 + 2 t − 1 f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = − 1 ± 2 mà t > 0 ⇒ t = − 1 + 2 , ta lập được BBT cho hàm số: Từ BBT suy ra để PT (*) có nghiệm thì m ≤ 2 2 − 1 ⇒ Có 12 giá trị nguyên củam∈[−10;10]. Chọn C.

Ta có:

$(6 + 27)^{x} + (2 - m) (3 - 7)^{x} - (m - 1) 2^{x} \geq 0 \Leftrightarrow 2^{x} (3 + 7)^{x} + (2 - m) (3 - 7)^{x} \geq (m - 1) 2^{x} \Leftrightarrow (3 + 7)^{x} + (2 - m) (\frac{3 - 7}{2})^{x} \geq m - 1 (*)$

Đặt $t = (3 + 7)^{x} > 0 \Rightarrow (\frac{3 - 7}{2})^{x} = \frac{1}{t}$ , khi đó:

$(*) \Leftrightarrow t + (2 - m) \frac{1}{t} \geq m - 1 \Leftrightarrow \frac{t ^{2} + t + 2}{t + 1} \geq m$

Xét hàm số $f (t) = \frac{t ^{2} + t + 2}{t + 1} \Rightarrow f^{'} (t) = \frac{t ^{2} + 2 t - 1}{( t + 1 ) ^{2}} f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \pm 2$