Câu hỏi

Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể phương trình 9. 3 2 x − m ( 4 4 x 2 + 2 x + 1 + 3 m + 3 ) . 3 x + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $9. 3^{2 x} - m (4 4 x^{2} + 2 x + 1 + 3 m + 3) . 3^{x} + 1 = 0$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

Vô số
3
1
2

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có : Đặt t = x + 1 , phương trình (1) thành : Bài toán trở thành tìm số giá trị nguyên của m để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Nhận xét : Nếu t 0 là một nghiệm của phương trình (2) thì − t 0 cũng là một nghiệm của phương trình (2). Do đó điều kiện cần để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt là phương trình (2) có nghiệm t=0 Với t=0 thay vào phương trình (2), ta có : Thử lại : +) Với m = − 2 , phương trình (2) thành 3 t + 3 t 1 + 3 2 ( 4 ∣ t ∣ − 3 ) = 0 Ta có : 3 t + 3 t 1 ≥ 2 , ∀ t ∈ R và 3 2 ( 4 ∣ t ∣ − 3 ) ≥ − 2 , ∀ t ∈ R Suy ra : 3 t + 3 t 1 + 3 2 ( 4 ∣ t ∣ − 3 ) ≥ 0 , ∀ t ∈ R Dấu bằng xảy ra khi t = 0 , hay phương trình (2) có nghiệm duy nhất t = 0 nên loại m = − 2 . +) Với m = 1 phương trình (2) thành 3 t + 3 t 1 − 3 1 ( 4 ∣ t ∣ + 6 ) = 0 (3) Dễ thấy phương trình (3) có 3 nghiệm t = − 1 ; t = 0 ; t = 1 . Ta chứng minh phương trình (3) chỉ có 3 nghiệm t = − 1 ; t = 0 ; t = 1 . Vì t là nghiệm thì -t cũng là nghiệm phương trình (3) nên ta chỉ xét phương trình (3) trên [ 0 ; + ∞ ) . Trên tập [ 0 ; + ∞ ) , (3) ⇔ 3 t + 3 t 1 − 3 1 ( 4 ∣ t ∣ + 6 ) = 0 . Xét hàm f ( t ) = 3 t + 3 t 1 − 3 1 ( 4 ∣ t ∣ + 6 ) = 0 trên [ 0 ; + ∞ ) . Ta có : Suy ra f ′ ( t ) đồng biến trên [ 0 ; + ∞ ) ⇒ f ′ ( t ) = 0 có tối đa 1 nghiệm t > 0 ⇒ f ( t ) = 0 , có tối đa 2 nghiệm t ∈ [ 0 ; + ∞ ) . Suy ra trên [ 0 ; + ∞ ) , phương trình (3) có 2 nghiệm t = 0 ; t = 1 . Do đó trên tập R , phương trình (3) có đúng 3 nghiệm t = − 1 ; t = 0 ; t = 1 . Vậy chọn m = 1 . C hú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm này, sau khi loại được m = − 2 , ta có thể kết luận đáp án C do đề không có phương án nào là không tồn tại m .

Ta có :

Đặt $t = x + 1$ , phương trình (1) thành :

Bài toán trở thành tìm số giá trị nguyên của m để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

Nhận xét : Nếu $t_{0}$ là một nghiệm của phương trình (2) thì $- t_{0}$ cũng là một nghiệm của phương trình (2). Do đó điều kiện cần để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt là phương trình (2) có nghiệm t=0

Với t=0 thay vào phương trình (2), ta có :

Thử lại :

+) Với $m = - 2$ , phương trình (2) thành

$3^{t} + \frac{1}{3 ^{t}} + \frac{2}{3} (4 ∣ t ∣ - 3) = 0$

Ta có : $3^{t} + \frac{1}{3 ^{t}} \geq 2, \forall t \in R$ và $\frac{2}{3} (4 ∣ t ∣ - 3) \geq - 2, \forall t \in R$

Suy ra : $3^{t} + \frac{1}{3 ^{t}} + \frac{2}{3} (4 ∣ t ∣ - 3) \geq 0, \forall t \in R$

Dấu bằng xảy ra khi $t = 0$ , hay phương trình (2) có nghiệm duy nhất $t = 0$ nên loại $m = - 2$ .

+) Với $m = 1$ phương trình (2) thành $3^{t} + \frac{1}{3 ^{t}} - \frac{1}{3} (4 ∣ t ∣ + 6) = 0$ (3)

Dễ thấy phương trình (3) có 3 nghiệm $t = - 1; t = 0; t = 1$ .

Ta chứng minh phương trình (3) chỉ có 3 nghiệm $t = - 1; t = 0; t = 1$ . Vì t là nghiệm thì -t cũng là nghiệm phương trình (3) nên ta chỉ xét phương trình (3) trên $[0; + \infty)$ .

Trên tập $[0; + \infty)$ , (3) $\Leftrightarrow 3^{t} + \frac{1}{3 ^{t}} - \frac{1}{3} (4 ∣ t ∣ + 6) = 0$ .

Xét hàm $f (t) = 3^{t} + \frac{1}{3 ^{t}} - \frac{1}{3} (4 ∣ t ∣ + 6) = 0$ trên $[0; + \infty)$ .

Ta có :

Suy ra $f^{'} (t)$ đồng biến trên $[0; + \infty) \Rightarrow f^{'} (t) = 0$ có tối đa 1 nghiệm $t > 0 \Rightarrow f (t) = 0$ , có tối đa 2 nghiệm $t \in [0; + \infty)$ . Suy ra trên $[0; + \infty)$ , phương trình (3) có 2 nghiệm $t = 0; t = 1$ .

Do đó trên tập $R$ , phương trình (3) có đúng 3 nghiệm $t = - 1; t = 0; t = 1$ . Vậy chọn $m = 1$ .

Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm này, sau khi loại được $m = - 2$ , ta có thể kết luận đáp án C do đề không có phương án nào là không tồn tại m.