Câu hỏi

Biết ∫ 4 π 3 π cos 4 x + sin x cos 3 x cos 2 x + sin x cos x + 1 d x = a + b ln 2 + c ln ( 1 + 3 ) ,với a,b,c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng

Biết $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{cos ^{2} x + sin x cos x + 1}{cos ^{4} x + sin x cos ^{3} x} d x = a + b ln 2 + c ln (1 + 3)$ , với a,b,c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng

N. Huỳnh

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đáp án C Ta có: ∫ 4 π 3 π cos 4 x + sin x cos 3 x cos 2 x + sin x cos x + 1 d x = ∫ 4 π 3 π 1 + tan cos 2 x 1 + cos 2 x tan x + cos 4 x 1 d x = ∫ 4 π 3 π 1 + tan x ( 1 + tan 2 x ) + tan x ( 1 + tan 2 x ) + ( 1 + tan 2 x ) 2 d x = ∫ 4 π 3 π 1 + tan x 1 + tan x + ( 1 + tan 2 x ) ( 1 + tan 2 x ) d x = ∫ 4 π 3 π ( 1 + 1 + tan x 1 + tan 2 x ) ( 1 + tan 2 x ) d x Đặt t = 1 + tan x ta được d t = ( 1 + tan 2 x ) d x , đổi cận x = 4 π ⇒ t = 2 , x = 3 π ⇒ t = 1 + 3 Ta được ∫ 2 1 + 3 ( 1 + t ( 1 + t ) 2 ) d t = ∫ 2 1 + 3 2 ( t − 1 + t 2 ) d t = ( 2 t 2 − t + 2 ln t ) ∣ ∣ 2 1 + 3 = 1 − 2 ln 2 + 2 ln 2 ( 1 + 3 ) Từ đây ta suy ra a + b ln 2 + c ln ( 1 + 3 ) = 1 − 2 ln 2 + 2 ln ( 1 + 3 ) Do đó a = 1 , b = − 2 , c = 2 suy ra ab c = − 4

Đáp án C

Ta có: $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{cos ^{2} x + sin x cos x + 1}{cos ^{4} x + sin x cos ^{3} x} d x = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{1}{cos ^{2} x} + \frac{tan x}{cos ^{2} x} + \frac{1}{cos ^{4} x}}{1 + tan} d x$

$= \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{( 1 + tan ^{2} x ) + tan x ( 1 + tan ^{2} x ) + ( 1 + tan ^{2} x ) ^{2}}{1 + tan x} d x$

$= \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + tan x + ( 1 + tan ^{2} x )}{1 + tan x} (1 + tan^{2} x) d x = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (1 + \frac{1 + tan ^{2} x}{1 + tan x}) (1 + tan^{2} x) d x$

Đặt $t = 1 + tan x$ ta được $d t = (1 + tan^{2} x) d x$ , đổi cận $x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = 2, x = \frac{π}{3} \Rightarrow t = 1 + 3$

Ta được

$\int_{2}^{1 + 3} (1 + \frac{( 1 + t ) ^{2}}{t}) d t = \int_{2}^{1 + 32} (t - 1 + \frac{2}{t}) d t = (\frac{t ^{2}}{2} - t + 2 ln t) ∣ ∣_{2}^{1 + 3} = 1 - 2 ln 2 + 2 ln 2 (1 + 3)$

Từ đây ta suy ra $a + b ln 2 + c ln (1 + 3) = 1 - 2 ln 2 + 2 ln (1 + 3)$

Do đó $a = 1, b = - 2, c = 2$ suy ra $ab c = - 4$

Câu hỏi tương tự

Một oto dự định đi từ tỉnh A tới tỉnh B với tốc độ trung bình 40km/h. Lúc đầu oto đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì được nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm tốc độ 10km/h trên quãng đường...

Xác nhận câu trả lời

Gọi D là tập xác định của hàm số y = ( 6 − x − x 2 ) − 3 1 . Chọn đáp án đúng

Xác nhận câu trả lời

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x 2 + 1 là

Xác nhận câu trả lời

Cho hình lập phương A BC D . A ′ B ′ C ′ D ′ cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,BC. Tính góc của cặp đường thẳng MN và C ′ D ′

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian O x yz , hình chiếu vuông góc của A ( 2 ; 3 ; 1 ) lên trục tọa độ x ′ O x là

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG