Câu hỏi

Biết rằng f ( t ) = 3 2 + t − 6 2 − t + 4 4 − t 2 − 10 + 3 t , − 2 ≤ t ≤ 2 , xác định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: m = ∫ 0 x f ( t ) d t ; x ∈ [ − 2 ; 2 ]

Biết rằng $f (t) = 3 2 + t - 6 2 - t + 4 4 - t^{2} - 10 + 3 t, - 2 \leq t \leq 2$ , xác định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:

$m = \int_{0}^{x} f (t) d t; x \in [- 2; 2]$

R. Roboctvx124

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: m = F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t ; x ∈ [ − 2 ; 2 ] F ′ ( x ) = f ( x ) ⇒ F ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3 x ⇔ 3 ( 2 + x − 2 2 − x ) + 4 4 − x 2 = 10 − 3 x ( ∗ ) Đặt u = 2 + x − 2 2 − x ⇒ u 2 = 2 + x − 4 4 − x 2 + 4 ( 2 − x ) = 10 − 3 x − 4 4 − x 2 Khi đó phương trình (*) trở thành: 3 u = u 2 ⇔ [ u = 0 u = 3 ⇔ [ 2 + x = 2 2 − x 2 + x = 2 2 − x + 3 ⇔ x = 5 6 Ta tìm GTLN và GTNN của F ( x ) , x ∈ [ − 2 ; 2 ] , ta có: F ( − 2 ) = ∫ 0 − 2 f ( x ) d x = ∫ 0 − 2 ( 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 − 10 + 3 x ) d x = 58 − 12 2 − 4 π F ( 5 6 ) = ∫ 0 5 6 ( 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 − 10 + 3 x ) d x = 32 5 5 − 25 246 + 8 arcsin 5 3 − 4 sin ( 2 arcsin 5 3 ) . F ( 2 ) = ∫ 0 2 ( 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 − 10 + 3 x ) d x = 2 − 12 2 + 4 π ⇒ x ∈ [ − 2 ; 2 ] min F ( x ) = F ( 2 ) = 2 − 12 2 + 4 π ; x ∈ [ − 2 ; 2 ] max F ( x ) = F ( − 2 ) = 58 − 12 2 − 4 π ; ⇒ 2 − 12 2 + 4 π ≤ m ≤ 58 − 12 2 − 4 π

Ta có: $m = F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t; x \in [- 2; 2]$
$F^{'} (x) = f (x) \Rightarrow F^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 2 + x - 6 2 - x + 4 4 - x^{2} = 10 - 3 x \Leftrightarrow 3 (2 + x - 2 2 - x) + 4 4 - x^{2} = 10 - 3 x (*)$

Đặt

$u = 2 + x - 2 2 - x \Rightarrow u^{2} = 2 + x - 4 4 - x^{2} + 4 (2 - x) = 10 - 3 x - 4 4 - x^{2}$

Khi đó phương trình (*) trở thành:

$3 u = u^{2} \Leftrightarrow [u = 0 u = 3 \Leftrightarrow [2 + x = 2 2 - x 2 + x = 2 2 - x + 3 \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}$

Ta tìm GTLN và GTNN của $F (x), x \in [- 2; 2]$ , ta có:
$F (- 2) = \int_{0}^{- 2} f (x) d x = \int_{0}^{- 2} (3 2 + x - 6 2 - x + 4 4 - x^{2} - 10 + 3 x) d x = 58 - 122 - 4 π$

$F (\frac{6}{5}) = \int_{0}^{\frac{6}{5}} (3 2 + x - 6 2 - x + 4 4 - x^{2} - 10 + 3 x) d x = 32 \frac{5}{5} - \frac{246}{25} + 8 arcsin \frac{3}{5} - 4 sin (2 arcsin \frac{3}{5}) .$

$F (2) = \int_{0}^{2} (3 2 + x - 6 2 - x + 4 4 - x^{2} - 10 + 3 x) d x = 2 - 122 + 4 π \Rightarrow x \in [- 2; 2] min F (x) = F (2) = 2 - 122 + 4 π; x \in [- 2; 2] max F (x) = F (- 2) = 58 - 122 - 4 π; \Rightarrow 2 - 122 + 4 π \leq m \leq 58 - 122 - 4 π$

Câu hỏi tương tự

Cho biết tích phân ∫ 0 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 2 ) d x = a + b ln 2 + c ln 3 ;với a, b, c là những số nguyên. Giá trị của biểu thức T = a + b + 2c bằng:

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm, nhận giá trị dương trên ( 0 ; + ∞ ) và thỏa mãn với mọi x ∈ ( 0 ; + ∞ ) . Biết f ( 3 2 ) = 3 2 , tính giá trị f ( 3 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y = x 2 − 3 x + 2 x − 1 có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y = x − 3 x 2 + 1 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 4.

Xác nhận câu trả lời

T ı ˋ m t a ^ ˊ t c ả c a ˊ c gi a ˊ tr ị c ủ a tham s o ^ ˊ m đ ể đ o ^ ˋ th ị h a ˋ m s o ^ ˊ y = 2 x 3 − 3 ( m + 1 ) x 2 + 6 mx c o ˊ hai đ i ể m c ự c tr ị A v a ˋ B sao cho đư ờ ng th ẳ ng AB vu ...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG