Câu hỏi

Biết rằng bất đẳng thức a + 1 1 + b − 1 1 ≥ a + b 4 đúng với mọi a,b thỏa mãn điều kiện a > − 1 , b > 1 Dấu bằng xảy ra khi

Biết rằng bất đẳng thức $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b - 1} \geq \frac{4}{a + b}$ đúng với mọi a,b thỏa mãn điều kiện $a > - 1, b > 1$ Dấu bằng xảy ra khi

$a = b$
$a = b + 2$
$a = b - 2$
$ab = 1$

R. Roboctvx71

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a + 1 1 và b − 1 1 ta được: a + 1 1 + b − 1 1 ≥ ( a + 1 ) ( b − 1 ) 2 = 2 ( a + 1 ) ( b − 1 ) 4 ≥ a + 1 + b − 1 4 = a + b 4 . Dấu bằng xảy ra khi a + 1 = b − 1 ⇔ a = b − 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\frac{1}{a + 1}$ và $\frac{1}{b - 1}$ ta được:

$\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b - 1} \geq \frac{2}{( a + 1 ) ( b - 1 )} = \frac{4}{2 ( a + 1 ) ( b - 1 )} \geq \frac{4}{a + 1 + b - 1} = \frac{4}{a + b} .$