Biết bốn số 5; x;15; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của 3x + 2y bằng

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi phương trình f ( 2 − f ( x )) = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2; -1) và điểm B(2;-1;1) có phương trình tham số là:

Cho A = a a ​ + ab ​ B = b a ​ + ab ​ , ở đ o ˊ 0 < a , b ∈ R Chứng minh rằng nếu a ​ + b ​ ∈ Q v a ˋ ab ​ ∈ Q t h ı ˋ A + B . A . B ∈ Q

Với mỗi 1 ≤ n ∈ N ta đặt a n ​ = ( 2 3 + 5 ​ ​ ) n + ( 2 3 − 5 ​ ​ ) n − 2 a. Chứng minh rằng a n ∈ Z , ∀1 ≤ n ∈ N B. Tìm tất cả các số tự nhiên n ≥ 1 sao cho a n là số chính phương.

Ta kí hiệu Z * là tập hợp cả các số nguyên dương Cho hàm f: Z * -> Z * thỏa mãn. f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y), ≥ ∀ x , y ∈ Z ∗ , x > y Chứng minh rằng f(2) =2f 2 (1)-1