Câu hỏi

Bây giờ ta quan tâm câu hỏi tìm nghiệm riêng của phương trình truy hồi không thuần nhất bậc hai với hệ số hằng số a 0 x n + 2 + a 1 x n + 1 + a 2 x n = b n ( a 0  = 0 , a 2  = 0 )

Bây giờ ta quan tâm câu hỏi tìm nghiệm riêng của phương trình truy hồi không thuần nhất bậc hai với hệ số hằng số

$a_{0} x_{n + 2} + a_{1} x_{n + 1} + a_{2} x_{n} = b_{n} (a_{0} \neq = 0, a_{2} \neq = 0)$

R. Robo.Ctvx44

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Lời giải. Ta cũng xét nghiệm t 1 , t 2 của phương trình a 0 t 2 + a 1 t + a 2 = 0 . 1) Trường hợp t 1  = t 2 : Khi đó theo phần trên t 1 n và t 2 n là những nghiệm riêng của phương trình thuần nhất Nghiệm riêng của phương trình (3.35) ta sẽ tìm theo phương pháp biến đổi hằng số như sau: Ta phải tìm nghiệm riêng ξ n có dạng ξ n = α n t 1 n + β n t 2 n , Ta có ξ n + 1 = α n + 1 t 1 n + 1 + β n + 1 t 2 n + 1 = α n t 1 n + 1 + β n t 2 n + 1 + ( α n + 1 − α n ) t 1 n + 1 + ( β n + 1 − β n ) t 2 n + 1 . Bây giờ ta đặt điều kiện cho các dãy { α n } và { β n } thoả mãn Δ α t 1 n + 1 + Δ β t 2 n + 1 = 0 , ở đây Δ α = α n + 1 − α n , Δ β = β n + 1 − β n . Khi đó ξ n + 1 = α n t 1 n + 1 + β n t 2 n + 1 ξ n + 2 = α n + 1 t 1 n + 2 + β n + 1 t 2 n + 2 = α n t 1 n + 2 + β n t 2 n + 2 + Δ α t 1 n + 2 + Δ β t 2 n + 2 . Ta thế biểu thức ξ n , ξ n + 1 , ξ n + 2 vàota nhận được ( a 0 t 1 n + 2 + a 1 t 1 n + 1 + a 2 t 1 n ) ⋅ α n + ( a 0 t 2 n + 2 + a 1 t 2 n + 1 + a 2 t 2 n ) ⋅ β n + a 0 ( Δ α t 1 n + 2 + Δ β t 2 n + 2 ) = b n . Do ( a 0 t 1 n + 2 + a 1 t 1 n + 1 + a 2 t 1 n ) ⋅ α n = 0 và ( a 0 t 2 n + 2 + a 1 t 2 n + 1 + a 2 t 2 n ) ⋅ β n = 0 suy ra Δ α t 1 n + 2 + Δ β t 2 n + 2 = a 0 b n . ta tìm được Δ α = α n + 1 − α n = a 0 b n ⋅ t 1 n + 1 ( t 1 − t 2 ) 1 Δ β = β n + 1 − β n = a 0 b n ⋅ t 1 n + 1 ( t 2 − t 1 ) 1 . Sau khi thế lần lượt n bằng các giá trị tương ứng α n − α n − 1 = a 0 b n − 1 ⋅ t 1 n ( t 1 − t 2 ) 1 α n − 1 − α n − 2 = a 0 b n − 2 ⋅ t 1 n − 1 ( t 1 − t 2 ) 1 … α 3 − α 2 = a 0 b 2 ⋅ t 1 3 ( t 1 − t 2 ) 1 α 2 − α 1 = a 0 b 1 ⋅ t 1 2 ( t 1 − t 2 ) 1 α 1 − α 0 = a 0 b 0 ⋅ t 1 ( t 1 − t 2 ) 1 . Ta cộng theo vế của các đẳng thức trên và chú ý α 0  = 0 ta tìm được α n = a 0 t 1 n ( t 1 − t 2 ) 1 ( b 0 t 1 n − 1 + b 1 t 1 n − 2 + ⋯ + b n − 2 t 1 + b n − 1 ) . Tương tự ta cũng tìm được β n = a 0 t 2 n ( t 2 − t 1 ) 1 ( b 0 t 2 n − 1 + b 1 t 2 n − 2 + ⋯ + b n − 2 t 2 + b n − 1 ) . ta có ξ n = a 0 ( t 1 − t 2 ) f ( t 1 ) − f ( t 2 ) , f ( t ) = b 0 t n − 1 + b 1 t n − 2 + ⋯ + b n − 2 t + b n − 1 . 2) Trường hợp t 1 = t 2 : Tương tự cách làm trên ta cũng tìm được ξ n dạng ξ n = ( α n + n β n ) t 1 n , và ta cũng nhận được ξ n = a 0 f ′ ( t 1 ) .

Lời giải. Ta cũng xét nghiệm $t_{1}, t_{2}$ của phương trình $a_{0} t^{2} + a_{1} t +$ $a_{2} = 0$ .

1) Trường hợp $t_{1} \neq = t_{2}$ : Khi đó theo phần trên $t_{1}^{n}$ và $t_{2}^{n}$ là những nghiệm riêng của phương trình thuần nhất

Nghiệm riêng của phương trình (3.35) ta sẽ tìm theo phương pháp biến đổi hằng số như sau: Ta phải tìm nghiệm riêng $ξ_{n}$ có dạng

$ξ_{n} = α_{n} t_{1}^{n} + β_{n} t_{2}^{n},$

Ta có

$ξ_{n + 1} = α_{n + 1} t_{1}^{n + 1} + β_{n + 1} t_{2}^{n + 1} = α_{n} t_{1}^{n + 1} + β_{n} t_{2}^{n + 1} + (α_{n + 1} - α_{n}) t_{1}^{n + 1} + (β_{n + 1} - β_{n}) t_{2}^{n + 1} .$

Bây giờ ta đặt điều kiện cho các dãy ${α_{n}}$ và ${β_{n}}$ thoả mãn

$Δ α t_{1}^{n + 1} + Δ β t_{2}^{n + 1} = 0,$

ở đây $Δ α = α_{n + 1} - α_{n}, Δ β = β_{n + 1} - β_{n}$ . Khi đó

$ξ_{n + 1} = α_{n} t_{1}^{n + 1} + β_{n} t_{2}^{n + 1} ξ_{n + 2} = α_{n + 1} t_{1}^{n + 2} + β_{n + 1} t_{2}^{n + 2} = α_{n} t_{1}^{n + 2} + β_{n} t_{2}^{n + 2} + Δ α t_{1}^{n + 2} + Δ β t_{2}^{n + 2} .$

Ta thế biểu thức $ξ_{n}, ξ_{n + 1}, ξ_{n + 2}$ vào ta nhận được

$(a_{0} t_{1}^{n + 2} + a_{1} t_{1}^{n + 1} + a_{2} t_{1}^{n}) \cdot α_{n} + (a_{0} t_{2}^{n + 2} + a_{1} t_{2}^{n + 1} + a_{2} t_{2}^{n}) \cdot β_{n} + a_{0} (Δ α t_{1}^{n + 2} + Δ β t_{2}^{n + 2}) = b_{n} .$

Do $(a_{0} t_{1}^{n + 2} + a_{1} t_{1}^{n + 1} + a_{2} t_{1}^{n}) \cdot α_{n} = 0$ và $(a_{0} t_{2}^{n + 2} + a_{1} t_{2}^{n + 1} + a_{2} t_{2}^{n}) \cdot β_{n} =$ 0 suy ra

$Δ α t_{1}^{n + 2} + Δ β t_{2}^{n + 2} = \frac{b _{n}}{a _{0}} .$

ta tìm được

$Δ α = α_{n + 1} - α_{n} = \frac{b _{n}}{a _{0}} \cdot \frac{1}{t _{1}^{n + 1} ( t _{1} - t _{2} )} Δ β = β_{n + 1} - β_{n} = \frac{b _{n}}{a _{0}} \cdot \frac{1}{t _{1}^{n + 1} ( t _{2} - t _{1} )} .$

Sau khi thế lần lượt $n$ bằng các giá trị tương ứng

$α_{n} - α_{n - 1} = \frac{b _{n - 1}}{a _{0}} \cdot \frac{1}{t _{1}^{n} ( t _{1} - t _{2} )} α_{n - 1} - α_{n - 2} = \frac{b _{n - 2}}{a _{0}} \cdot \frac{1}{t _{1}^{n - 1} ( t _{1} - t _{2} )} \dots α_{3} - α_{2} = \frac{b _{2}}{a _{0}} \cdot \frac{1}{t _{1}^{3} ( t _{1} - t _{2} )} α_{2} - α_{1} = \frac{b _{1}}{a _{0}} \cdot \frac{1}{t _{1}^{2} ( t _{1} - t _{2} )}$

$α_{1} - α_{0} = \frac{b _{0}}{a _{0}} \cdot \frac{1}{t _{1} ( t _{1} - t _{2} )} .$

Ta cộng theo vế của các đẳng thức trên và chú ý $α_{0} \neq = 0$ ta tìm được

$α_{n} = \frac{1}{a _{0} t _{1}^{n} ( t _{1} - t _{2} )} (b_{0} t_{1}^{n - 1} + b_{1} t_{1}^{n - 2} + \dots + b_{n - 2} t_{1} + b_{n - 1}) .$

Tương tự ta cũng tìm được

$β_{n} = \frac{1}{a _{0} t _{2}^{n} ( t _{2} - t _{1} )} (b_{0} t_{2}^{n - 1} + b_{1} t_{2}^{n - 2} + \dots + b_{n - 2} t_{2} + b_{n - 1}) .$

ta có

$ξ_{n} = \frac{f ( t _{1} ) - f ( t _{2} )}{a _{0} ( t _{1} - t _{2} )},$

$f (t) = b_{0} t^{n - 1} + b_{1} t^{n - 2} + \dots + b_{n - 2} t + b_{n - 1} .$

2) Trường hợp $t_{1} = t_{2}$ : Tương tự cách làm trên ta cũng tìm được $ξ_{n}$ dạng $ξ_{n} = (α_{n} + n β_{n}) t_{1}^{n}$ , và ta cũng nhận được

$ξ_{n} = \frac{f ^{'} ( t _{1} )}{a _{0}} .$

Câu hỏi tương tự

Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển P(x)=(2+5x) ( 1 − 2 x ) 8

127

Xác nhận câu trả lời

Tìm số hạng tông quát x n cho phương trình truy hồi thuần nhất bậc hai: a 0 x n + 2 + a 1 x n + 1 + a 2 x n = 0.

Xác nhận câu trả lời

Cho dãy số ( u n ) xác định bởi: { u 1 = 1 u n + 1 = 2 n n + 1 ( u n + 2 ) , ∀ n ∈ N ∗ Chứng minh rằng dãy số ( u n ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Xác nhận câu trả lời

Cho một dãy số n số hạng a 1 = a 1 , a 2 = a 1 + d 1 , a 3 = a 2 + d 2 , … , a n = a n − 1 + d n − 1 , ở đầy dãy số d 1 , d 2 , … , d n − 1 là một cấp số nhân với côn...

Xác nhận câu trả lời

Cho ba số thực dương a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân đồng thời thỏa mãn điều kiện a 3 + b 3 + c 3 a 2 b 2 c 2 = 4 .Tính giá trị của biểu thức P= a 3 1 + b 3 1 + c 3 1

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG