2.Cho phương trình x 2 − 2 ( m − 1 ) x + m − 3 = 0 (với m là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 với mọi m. Tìm các giá trị của tham số m sao cho: ∣ x 1 ​ − x 2 ​ ∣ = 4.

Giải thích

2. Ta có: △ ′ = [ − ( m − 1 ) ] 2 − 1. ( m − 3 ) = m 2 − 3 m + 4 = ( m − 2 3 ​ ) 2 + 4 7 ​ > 0 với mọi m nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 ​ và x 2 ​ với mọi m. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x 1 ​ + x 2 ​ = 2 ( m − 1 ) ; x 1 ​ . x 2 ​ = m − 3 Ta có: ∣ x 1 ​ − x 2 ​ ∣ = 4 ⇔ ( x 1 ​ − x 2 ​ ) 2 = 16 ⇔ ( x 1 ​ + x 2 ​ ) 2 − 4 x 1 ​ x 2 ​ = 16. Từ đó ta được phương trình: 4 ( m − 1 ) 2 − 4 ( m − 3 ) = 16 ⇔ 4 m 2 − 12 m = 0 ⇔ [ m = 0 m = 3 ​ ( TM ) . Vậy m=0, m=3 là các giá trị cần tìm.