Câu hỏi

(Định lí Fermat cho n = 4 )Chứng minh phương trình x 4 + y 4 = z 4 không có nghiệm nguyên khác 0.

(Định lí Fermat cho $n = 4$ ) Chứng minh phương trình $x^{4} + y^{4} = z^{4}$ không có nghiệm nguyên khác 0.

R. Roboctvx107

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Một cách tổng quát hơn ta sẽ chứng minh phươngtrình: x 4 + y 4 = z 2 ()không có nghiệm nguyên khác 0. Vì số mũ của các biến là số chẵn nên ta chỉ cần xét bài toán trên tập số nguyên dương. Giả sử phươngtrình () có nghiệm thì trong số các bộ nghiệm ta xét bộ nghiệm có z nhỏ nhất. Theo nhưví dụ 12 thì phải tồn tại p , q ∈ N để: Ta lại được: y 2 + p 2 = q 2 và lại theo phươngtrình pytago ta nhận thấy tồn tại u , v ∈ N , ( u , v ) = 1 thỏa mãn: Do đó suy ra: Mà ta có nên u , v , u 2 + v 2 đều là các số chính phương. Đặt u = a 2 , v = b 2 , u 2 + v 2 = c 2 thì ta đƣợc: c 2 = a 4 + b 4 .Phươngtrình này có dạng nhưban đầu và rõ ràng c < z , điều này vô lí với cách chọn z . Do đó phươngtrình (*) không có nghiệm nguyên.

Một cách tổng quát hơn ta sẽ chứng minh phương trình: $x^{4} + y^{4} = z^{2}$ (*) không có nghiệm nguyên khác 0.

Vì số mũ của các biến là số chẵn nên ta chỉ cần xét bài toán trên tập số nguyên dương.

Giả sử phương trình (*) có nghiệm thì trong số các bộ nghiệm ta xét bộ nghiệm có z nhỏ nhất. Theo như ví dụ 12 thì phải tồn tại $p, q \in N$ để:

open curly brackets table attributes columnalign left columnspacing 1em end attributes row cell x squared equals 2 p q end cell row cell y squared equals q squared minus p squared end cell row cell z equals p squared plus q squared end cell end table close

Ta lại được: $y^{2} + p^{2} = q^{2}$ và lại theo phương trình pytago ta nhận thấy tồn tại $u, v \in N, (u, v) = 1$ thỏa mãn:

open curly brackets table attributes columnalign left columnspacing 1em end attributes row cell y equals u squared minus v squared end cell row cell p equals 2 u v end cell row cell q equals u squared plus v squared end cell end table close

Do đó suy ra: x squared equals 4 u v open parentheses u squared plus v squared close parentheses

Mà ta có left parenthesis u comma v right parenthesis equals 1 comma open parentheses u v comma u squared plus v squared close parentheses equals 1 nên $u, v, u^{2} + v^{2}$ đều là các số chính phương. Đặt $u = a^{2}, v = b^{2}, u^{2} + v^{2} = c^{2}$ thì ta đƣợc: $c^{2} = a^{4} + b^{4}$ . Phương trình này có dạng như ban đầu và rõ ràng $c < z$ , điều này vô lí với cách chọn z . Do đó phương trình (*) không có nghiệm nguyên.

Câu hỏi tương tự

Có hai đống đá có n hòn và đống kia có k hòn. Cứ mỗi phút một máy tự động lại chọn một đống có số hòn đá là chẵn và chuyển một nửa số hòn đá của đống đá được chọn sang đống kia. Nếu cả hai đống đều có...

Xác nhận câu trả lời

Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên củ...

Xác nhận câu trả lời

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển sau: với x  = 0

Xác nhận câu trả lời

Lớp 11A14 có 30 học sinh được chia làm 4 tổ: tổ 1 có 6 học sinh, tổ 2 có 7 học sinh, tổ 3 có 8 học sinh, tổ 4 có 9 học sinh. Giáo viên dạy môn Toán của lớp cầnchọn ra 10 học sinh để tham dự ngoại khóa...

Xác nhận câu trả lời

Cho s ố nguy ê n d ươ ng n th ỏ a A n 2 + 2 C n 2 = n 2 + 80 . T ì m s ố h ạ ng kh ô ng ch ứ a x trong khai tri ể n c ủ a nh ị th ứ c: .

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG