cho tam giác ABC đều có H là trung điểm đoạn BC.M là hình chiếu H lên AC.I là trung điểm đoạn HM.chứng minh rằng BM vuông góc AI

* Chào em, Để chứng minh AI vuông góc với BM, em cần chứng minh vtAI.vtBM=0 (vt: vectơ) Giả sử tam giác ABC có độ dài cạnh là a. Trước tiên, ta biểu diễn vtAI, vtBM theo vtAB,vtAC. Cần lưu ý: Nếu gọi K là trung điểm AC thì ta dễ dàng chứng minh được HM là đường trung bình tam giác BKC. =>HM//BK =>CM/CK=HM/BK=1/2 (Hệ quả Talet) =>CM/AC=1/4 =>vtAM=3/4vtAC Ta có: vtAI=1/2vtAH+1/2vtAM (AI là trung tuyến của tam giác AHM) =1/2(1/2vtAB+1/2vtAC)+1/2.3/4vtAC =1/4vtAB+5/8vtAC vtBM=vtAM-vtAB =3/4vtAC-vtAB Suy ra: vtAI.vtBM =(1/4vtAB+5/8vtAC)(3/4vtAC-vtAB) =3/16vtAB.vtAC-1/4vtAB^2 +15/32vtAC^2-5/8vtAB.vtAC =-7/16vtAB.vtAC-1/4vtAB^2+15/32vtAC^2 =-7/16a^2.cos(vtAB,vtAC) -1/4a^2+15/32a^2 = 0 (lưu ý (vtAB,vtAC)=60 độ) Do đó: AI vuông góc với BM. Ngoài ra, em cũng có thể áp dụng phương pháp chứng minh theo hình học tổng hợp (không sử dụng vt để giải): Gọi J là trung điểm của MC, khi đó ta có IJ là đường trung bình của tam giác MHC suy ra IJ // HC Mà AH vuông góc với HC (tam giác ABC đều, có AH là trung tuyến nên AH là đường cao) Nên IJ vuông góc với AH Khi đó: tam giác AHJ có JI , HM là hai đường cao cắt nhau tại I Suy ra I là trực tâm => AI vuông góc HJ Mà HJ // BM (HJ là đường trung bình tam giác BMC) Suy ra AI vuông góc với BM.