Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với AB = AC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, AB, BC. a) Chứng minh BMCN là hình thang cân. b) Vẽ BM cắt CN tại O. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của OB, OC. Chứng minh MNIK là hình chữ nhật. c) Hỏi OKPI là hình gì? Tại sao? d) Chứng minh rằng nếu MNIK là hình vuông thì 2AP = 3BC.

a) NM là đtb tam giác ABC nên NM // BC =>BNMC là hình thang lại có góc B = góc C (tam giác ABC có AB =AC nên là tam giác cân) nên BNMC là htc. b) NM // BC và NM = 1/2 BC Lại có KI là đtb tam giác OBC nên KI // BC và KI = 1/2 BC Suy ra NM // KI và NM = KI suy ra MNKI là hbh. Lại có: NK vuông NM ( NK là đtb tam giác ABO nên NK // AO, mà AO vuông MN) nên MNKI là hcn. c) OKPI có: IP // OK (IP là đtb tam giác OBC) và PK // OI ( PK là đtb tam giác OBC) nên OKPI là hình bình hành lại có KI vuông OP (KI // BC, OP vuông BC) nên OKPI là hình thoi. d) MNKI là hv khi MN = NK Mà MN = 1/2 BC và NK = 1/2 AO (đtb) Suy ra BC = AO Lại có AO = 2/3AP (O là trọng tâm tam giác ABC) nên BC = 2/3AP Hay 3BC = 2AP (đpcm).